Bildungsstandards

Klammern (runde, eckige oder geschweifte) in Zahltermen verwenden und Terme unter Berücksichtigung dieser Klammern berechnen.

Einfache Zahlterme aufschreiben, die Rechenvorgänge mit Zahlen darstellen, und Zahlterme inhaltlich deuten, ohne sie auszurechnen.

Zum Beispiel: Die Rechnung „Addiere 8 und 7 und multipliziere das Ergebnis anschließend mit 2“ wird als
2 × (8 + 7) notiert.

Erkennen, dass 3 × (18932 + 921) dreimal so groß ist wie 18932 + 921, ohne die angegebene Summe oder das Produkt tatsächlich zu berechnen.

Zwei Zahlenfolgen anhand von zwei vorgegebenen Regeln erzeugen. Offensichtliche Beziehungen zwischen jeweils entsprechenden Gliedern der beiden Folgen erkennen.

Geordnete Zahlenpaare aus entsprechenden Gliedern beider Folgen bilden und diese im Koordinatensystem darstellen.

Beispiel: Gegeben ist die Regel „Addiere 3“ mit der Startzahl 0 sowie die Regel „Addiere 6“ mit der Startzahl 0. Die entstehenden Zahlenfolgen bilden und erkennen, dass die Glieder der einen Folge jeweils doppelt so groß sind wie die entsprechenden Glieder der anderen Folge. Dies informell begründen.

Erkennen, dass in einer mehrstelligen Zahl der Wert einer Ziffer vom jeweiligen Stellenwert abhängt: Eine Ziffer hat an einer Stelle den zehnfachen Wert im Vergleich zur Stelle rechts von ihr und ein Zehntel des Wertes im Vergleich zur Stelle links von ihr.

Muster in der Anzahl der Nullen im Produkt erklären, wenn eine Zahl mit einer Zehnerpotenz multipliziert wird. Ebenso Muster in der Verschiebung des Dezimalkommas beschreiben, wenn eine Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz multipliziert oder durch eine Zehnerpotenz dividiert wird.

Zehnerpotenzen mithilfe ganzzahliger Exponenten darstellen.

Dezimalzahlen bis zu den Tausendsteln lesen, schreiben und vergleichen.

a) Dezimalzahlen bis zu den Tausendsteln in Ziffernschreibweise, als Zahlwort sowie in erweiterter Schreibweise darstellen, zum Beispiel:
347,392 = 3 × 100 + 4 × 10 + 7 × 1 + 3 × (1/10) + 9 × (1/100) + 2 × (1/1000).

b) Zwei Dezimalzahlen bis zu den Tausendsteln anhand der Bedeutung der einzelnen Stellenwerte vergleichen und die Ergebnisse mit den Zeichen >, = oder < festhalten.

Das Verständnis des Stellenwertsystems nutzen, um Dezimalzahlen auf eine beliebige Stelle zu runden.

Mehrstellige natürliche Zahlen sicher und routiniert mithilfe des Standardverfahrens (schriftliche Multiplikation) multiplizieren.

Ganzzahlige Quotienten bei Divisionen natürlicher Zahlen mit bis zu vierstelligen Dividenden und zweistelligen Divisoren ermitteln. Dabei Strategien auf Grundlage des Stellenwertverständnisses, der Rechengesetze und/oder der Beziehung zwischen Multiplikation und Division anwenden.

Die Berechnung mithilfe von Gleichungen, Rechteckdarstellungen (Flächenmodellen) und/oder weiteren geeigneten Darstellungen veranschaulichen und erläutern.

Dezimalzahlen bis zu den Hundertsteln addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Dabei anschauliche Modelle oder Zeichnungen nutzen und Strategien anwenden, die auf dem Stellenwertverständnis, den Rechengesetzen und/oder der Beziehung zwischen Addition und Subtraktion beruhen.

Die gewählte Strategie mit einem schriftlichen Verfahren verknüpfen und die verwendete Begründung nachvollziehbar erklären.

Brüche mit unterschiedlichen Nennern (einschließlich gemischter Zahlen) addieren und subtrahieren, indem die gegebenen Brüche durch gleichwertige Brüche ersetzt werden, sodass eine gleichnamige Summe oder Differenz entsteht.

Beispiel:
2/3 + 5/4 = 8/12 + 15/12 = 23/12.

Allgemein gilt:
a/b + c/d = (ad + bc) / bd.

Sachaufgaben zur Addition und Subtraktion von Brüchen lösen, die sich auf dasselbe Ganze beziehen, auch bei unterschiedlichen Nennern. Zur Darstellung des Problems visuelle Bruchmodelle oder Gleichungen verwenden.

Referenzbrüche (z. B. 1/2, 1) und ein sicheres Zahlverständnis nutzen, um Ergebnisse im Kopf abzuschätzen und deren Plausibilität zu überprüfen.

Beispiel: Ein falsches Ergebnis wie 2/5 + 1/2 = 3/7 erkennen, indem festgestellt wird, dass 3/7 kleiner als 1/2 ist.

Einen Bruch als Division des Zählers durch den Nenner interpretieren (a/b = a ÷ b).

Sachaufgaben zur Division natürlicher Zahlen lösen, deren Ergebnisse als Brüche oder gemischte Zahlen dargestellt werden. Zur Darstellung visuelle Bruchmodelle oder Gleichungen verwenden.

Beispiel: 3/4 als Ergebnis von 3 ÷ 4 verstehen und erkennen, dass 3/4 × 4 = 3 gilt. Wenn 3 Ganze gleichmäßig auf 4 Personen verteilt werden, erhält jede Person 3/4.

Wenn 9 Personen einen 50-Pfund-Sack Reis gleichmäßig aufteilen, wie viele Pfund erhält jede Person? Zwischen welchen zwei natürlichen Zahlen liegt das Ergebnis?

Vorhandenes Verständnis der Multiplikation anwenden und erweitern, um einen Bruch oder eine natürliche Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren.

a) Das Produkt (a/b) × q als a Teile einer Zerlegung von q in b gleich große Teile interpretieren; gleichwertig als Abfolge der Rechenschritte a × q ÷ b.

Beispiel: Mithilfe eines visuellen Bruchmodells zeigen, dass (2/3) × 4 = 8/3 gilt, und dazu eine passende Sachsituation formulieren. Ebenso für (2/3) × (4/5) = 8/15.

Allgemein gilt:
(a/b) × (c/d) = ac/bd.

b) Den Flächeninhalt eines Rechtecks mit gebrochenen Seitenlängen bestimmen, indem es mit Einheitsquadraten der entsprechenden Einheitsbrüche ausgelegt wird. Zeigen, dass die Fläche dem Produkt der Seitenlängen entspricht. Gebrochene Seitenlängen multiplizieren, um Flächeninhalte zu berechnen, und Bruchprodukte als Rechteckflächen darstellen.

Multiplikation als Vergrößern oder Verkleinern (Skalierung) interpretieren, indem:

a) Die Größe eines Produkts mit der Größe eines Faktors verglichen wird, abhängig von der Größe des anderen Faktors, ohne die Multiplikation tatsächlich auszuführen.

b) Erklärt wird, warum die Multiplikation einer Zahl mit einem Bruch größer als 1 zu einem Produkt führt, das größer ist als die Ausgangszahl (wobei die Multiplikation mit natürlichen Zahlen größer als 1 als vertrauter Sonderfall erkannt wird). Ebenso erklären, warum die Multiplikation einer Zahl mit einem Bruch kleiner als 1 zu einem kleineren Produkt führt.

Darüber hinaus das Prinzip der Bruchgleichwertigkeit
a/b = (n × a) / (n × b)
mit der Wirkung der Multiplikation von a/b mit 1 in Beziehung setzen.

Sachaufgaben aus dem Alltag lösen, die die Multiplikation von Brüchen und gemischten Zahlen erfordern.

Zur Darstellung des Problems visuelle Bruchmodelle oder Gleichungen verwenden.

Vorhandenes Verständnis der Division anwenden und erweitern, um Einheitsbrüche durch natürliche Zahlen sowie natürliche Zahlen durch Einheitsbrüche zu dividieren.

a) Die Division eines Einheitsbruchs durch eine von Null verschiedene natürliche Zahl deuten und berechnen.

Beispiel: Eine Sachsituation zu (1/3) ÷ 4 formulieren und mithilfe eines visuellen Bruchmodells den Quotienten darstellen. Den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division nutzen, um zu erklären, dass
(1/3) ÷ 4 = 1/12 gilt, weil (1/12) × 4 = 1/3.

Hinweis: Schülerinnen und Schüler, die Brüche allgemein multiplizieren können, können durch den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division auch Strategien zur Division von Brüchen entwickeln. Die Division eines Bruchs durch einen Bruch ist jedoch in dieser Klassenstufe nicht verpflichtend.

b) Die Division einer natürlichen Zahl durch einen Einheitsbruch deuten und berechnen.

Beispiel: Eine Sachsituation zu 4 ÷ (1/5) formulieren und mithilfe eines visuellen Bruchmodells den Quotienten darstellen. Den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division nutzen, um zu erklären, dass
4 ÷ (1/5) = 20 gilt, weil 20 × (1/5) = 4.

c) Sachaufgaben aus dem Alltag lösen, die die Division von Einheitsbrüchen durch natürliche Zahlen sowie von natürlichen Zahlen durch Einheitsbrüche erfordern. Zur Darstellung visuelle Bruchmodelle und Gleichungen verwenden.

Beispiele:
Wie viel Schokolade erhält jede Person, wenn 3 Personen 1/2 Pfund Schokolade gleichmäßig teilen?
Wie viele Portionen zu 1/3 Tasse ergeben sich aus 2 Tassen Rosinen?

Zwischen unterschiedlich großen standardisierten Maßeinheiten innerhalb eines Maßsystems umrechnen (z. B. 5 cm in 0,05 m umwandeln) und diese Umrechnungen beim Lösen mehrschrittiger Sachaufgaben aus dem Alltag anwenden.

Ein Liniendiagramm erstellen, um Messdaten darzustellen, die als Bruchteile einer Einheit angegeben sind (z. B. 1/2, 1/4, 1/8).

Rechenoperationen mit Brüchen auf diesem Klassenstufenniveau anwenden, um Aufgaben zu lösen, die auf Informationen aus Liniendiagrammen basieren.

Beispiel: Sind unterschiedliche Flüssigkeitsmengen in gleich großen Bechern dargestellt, bestimmen, wie viel Flüssigkeit jeder Becher enthalten würde, wenn die Gesamtmenge gleichmäßig auf alle Becher verteilt wird.

Volumen als Eigenschaft von Körpern erkennen und grundlegende Vorstellungen zur Volumenmessung entwickeln.

a) Ein Würfel mit der Kantenlänge 1 Längeneinheit wird als „Einheitswürfel“ bezeichnet und besitzt ein Volumen von einer Kubikeinheit. Dieser Einheitswürfel dient zur Messung von Volumen.

b) Ein Körper, der lückenlos und ohne Überlappungen mit n Einheitswürfeln ausgefüllt werden kann, hat ein Volumen von n Kubikeinheiten.

Volumen messen, indem Einheitswürfel gezählt werden. Dabei Kubikzentimeter (cm³), Kubikzoll (in³), Kubikfuß (ft³) sowie selbst gewählte (improvisierte) Maßeinheiten verwenden.

Das Volumen mit den Rechenoperationen Multiplikation und Addition in Beziehung setzen und Sach- sowie Mathematikaufgaben zum Volumen lösen.

a) Das Volumen eines geraden rechteckigen Prismas mit ganzzahligen Kantenlängen bestimmen, indem es mit Einheitswürfeln ausgefüllt wird. Zeigen, dass das Volumen dem Produkt der Kantenlängen entspricht beziehungsweise der Multiplikation von Grundfläche und Höhe. Dreifache Produkte natürlicher Zahlen als Volumina darstellen, z. B. zur Veranschaulichung des Assoziativgesetzes der Multiplikation.

b) Die Formeln V = l × w × h und V = G × h für rechteckige Prismen anwenden, um Volumina gerader rechteckiger Prismen mit ganzzahligen Kantenlängen im Rahmen von Sach- und Mathematikaufgaben zu berechnen.

c) Erkennen, dass Volumen additiv ist. Das Volumen von Körpern bestimmen, die aus zwei sich nicht überlappenden geraden rechteckigen Prismen bestehen, indem die Teilvolumina addiert werden, und diese Strategie zur Lösung von Sachaufgaben anwenden.

Ein Koordinatensystem mithilfe zweier zueinander senkrechter Zahlenstrahlen (Achsen) definieren. Der Schnittpunkt der beiden Geraden (der Ursprung) fällt mit der 0 auf jeder Achse zusammen.

Einen Punkt in der Ebene mithilfe eines geordneten Zahlenpaares bestimmen, das als Koordinaten bezeichnet wird. Verstehen, dass die erste Zahl angibt, wie weit man sich vom Ursprung in Richtung der einen Achse bewegt, und die zweite Zahl, wie weit man sich in Richtung der anderen Achse bewegt.

Dabei gilt die Vereinbarung, dass die Bezeichnungen der Achsen und die Koordinaten übereinstimmen (z. B. x-Achse und x-Koordinate, y-Achse und y-Koordinate).

Sach- und Mathematikaufgaben darstellen, indem Punkte im ersten Quadranten des Koordinatensystems eingetragen werden.

Die Koordinatenwerte der Punkte im jeweiligen Sachzusammenhang interpretieren und inhaltlich deuten.

Verstehen, dass Eigenschaften, die zu einer Kategorie zweidimensionaler Figuren gehören, auch für alle Unterkategorien dieser Kategorie gelten.

Beispiel: Alle Rechtecke haben vier rechte Winkel. Da Quadrate Rechtecke sind, haben auch alle Quadrate vier rechte Winkel.

Zweidimensionale Figuren anhand ihrer Eigenschaften hierarchisch ordnen und klassifizieren.