Bildungsstandards

Den Begriff des Verhältnisses verstehen und das Verhältnis zwischen zwei Größen sprachlich beschreiben.

Beispiele: „Im Vogelhaus des Zoos betrug das Verhältnis von Flügeln zu Schnäbeln 2 : 1, weil auf jeweils zwei Flügel ein Schnabel kam.“ „Für jede Stimme, die Kandidat A erhielt, bekam Kandidat C fast drei Stimmen.“

Den Wert pro Einheit als Quotienten (a/b) zu einem Verhältnis (a : b) mit (b \neq 0) verstehen und im jeweiligen Sachzusammenhang sprachlich beschreiben.

Beispiele: „Bei diesem Rezept beträgt das Verhältnis von Mehl zu Zucker 3 : 4, gemessen in Tassen. Auf eine Tasse Zucker kommen also ¾ Tasse Mehl.“ „Wir haben für 15 Hamburger insgesamt 75 US-Dollar bezahlt. Das entspricht einem Preis von 5 US-Dollar pro Hamburger.“

Verhältnisse und Werte pro Einheit nutzen, um alltagsbezogene und mathematische Probleme zu lösen, beispielsweise mithilfe von Tabellen mit gleichwertigen Verhältnissen, Streifendiagrammen, doppelten Zahlenstrahlen oder Gleichungen.

Tabellen mit gleichwertigen Verhältnissen für Größen mit ganzzahligen Maßzahlen erstellen, fehlende Tabellenwerte bestimmen und die Wertepaare als Punkte in ein Koordinatensystem eintragen. Tabellen zum Vergleichen von Verhältnissen nutzen.

Aufgaben zu Werten pro Einheit lösen, unter anderem zu Preisen pro Einheit und zu gleichbleibenden Geschwindigkeiten.

Beispiel: „Das Mähen von vier gleich großen Rasenflächen dauerte sieben Stunden. Wie viele solcher Rasenflächen könnten bei gleichem Arbeitstempo in 35 Stunden gemäht werden? Wie viele Rasenflächen wurden pro Stunde gemäht?“

Prozentangaben als Anteile von Hundert verstehen und den Prozentwert einer Größe berechnen. Beispielsweise entsprechen 30 % einer Größe dem (\frac{30}{100})-Fachen dieser Größe. Aufgaben lösen, bei denen der Grundwert aus einem gegebenen Prozentwert und dem zugehörigen Prozentsatz bestimmt wird.

Verhältnisse zum Umrechnen von Maßeinheiten nutzen. Beim Multiplizieren und Dividieren von Größen Einheiten korrekt mitführen, kürzen und umformen.

Quotienten von Brüchen berechnen und ihre Bedeutung erklären. Sachaufgaben lösen, in denen Brüche durch Brüche dividiert werden. Dabei beispielsweise anschauliche Bruchdarstellungen und Gleichungen nutzen.

Beispiele: Eine passende Sachsituation zur Rechnung ⅔ : ¾ entwickeln und das Ergebnis mithilfe einer Bruchdarstellung veranschaulichen. Den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division nutzen, um zu erklären, warum ⅔ : ¾ = 8/9 gilt: ¾ von 8/9 sind ⅔. Allgemein gilt: (a/b) : (c/d) = (a · d)/(b · c).

Weitere Beispiele: „Drei Personen teilen sich ½ Pfund Schokolade gleichmäßig. Wie viel erhält jede Person?“ „Wie viele Portionen zu je ¾ Tasse entsprechen ⅔ Tasse Joghurt?“ „Ein rechteckiges Grundstück ist ¾ Meile lang und hat eine Fläche von ½ Quadratmeile. Wie breit ist es?“

Mehrstellige Zahlen mithilfe des schriftlichen Divisionsverfahrens sicher und zügig dividieren.

Dezimalzahlen mit mehreren Stellen mithilfe der jeweiligen schriftlichen Rechenverfahren sicher und zügig addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.

Den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier natürlicher Zahlen bis 100 und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier natürlicher Zahlen bis 12 bestimmen. Das Distributivgesetz nutzen, um aus einer Summe zweier natürlicher Zahlen von 1 bis 100 einen gemeinsamen Faktor auszuklammern. Die verbleibenden Summanden sollen keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben.

Beispiel: 36 + 8 = 4 · (9 + 2).

Verstehen, dass positive und negative Zahlen Größen mit entgegengesetzten Richtungen oder Werten beschreiben, beispielsweise Temperaturen über und unter null, Höhen über und unter dem Meeresspiegel, Guthaben und Schulden sowie positive und negative elektrische Ladungen. Positive und negative Zahlen in Alltagssituationen verwenden und jeweils erklären, welche Bedeutung die 0 hat.

Rationale Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden verstehen. Bekannte Zahlendarstellungen und Koordinatenachsen so erweitern, dass auch negative Zahlen auf der Zahlengeraden und Punkte mit negativen Koordinaten im Koordinatensystem dargestellt werden können.

Erkennen, dass Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen auf verschiedenen Seiten der 0 liegen. Verstehen, dass die Gegenzahl der Gegenzahl wieder die ursprüngliche Zahl ergibt, beispielsweise −(−3) = 3, und dass 0 ihre eigene Gegenzahl ist.

Verstehen, wie die Vorzeichen der beiden Koordinaten bestimmen, in welchem Quadranten ein Punkt liegt. Erkennen, dass Punkte, deren Koordinaten sich nur in den Vorzeichen unterscheiden, durch Spiegelung an einer oder beiden Koordinatenachsen ineinander übergehen.

Die Ordnung rationaler Zahlen und den Begriff des Betrags verstehen.

Ungleichungen als Aussagen über die Lage zweier Zahlen auf der Zahlengeraden verstehen.

Beispiel: −3 > −7 bedeutet, dass −3 auf einer von links nach rechts ansteigenden Zahlengeraden rechts von −7 liegt.

Vergleiche zwischen rationalen Zahlen in Alltagssituationen mit mathematischen Zeichen ausdrücken, deuten und erklären.

Beispiel: −3 °C > −7 °C drückt aus, dass −3 °C wärmer als −7 °C ist.

Den Betrag einer rationalen Zahl als ihren Abstand von 0 auf der Zahlengeraden verstehen. Den Betrag in Alltagssituationen als Größe einer positiven oder negativen Angabe deuten.

Beispiel: Bei einem Kontostand von −30 US-Dollar beschreibt |−30| = 30 die Höhe der Schulden in US-Dollar.

Zwischen dem Vergleich von Zahlen und dem Vergleich ihrer Beträge unterscheiden.

Beispiel: Ein Kontostand unter −30 US-Dollar bedeutet, dass die Schulden mehr als 30 US-Dollar betragen.

Alltagsbezogene und mathematische Probleme lösen, indem Punkte in allen vier Quadranten des Koordinatensystems dargestellt werden. Koordinaten und Beträge nutzen, um Abstände zwischen Punkten mit gleicher x-Koordinate oder gleicher y-Koordinate zu bestimmen.

Zahlenterme mit Potenzen aufstellen und ihren Wert berechnen. Dabei nichtnegative ganzzahlige Exponenten verwenden.

Terme aufstellen, lesen und ihren Wert berechnen, wobei Buchstaben für Zahlen stehen.

Rechenoperationen mit Zahlen und mit Buchstaben, die für Zahlen stehen, als Terme ausdrücken.

Beispiel: Die Rechenanweisung „Subtrahiere y von 5“ als Term 5 − y schreiben.

Bestandteile eines Terms mit mathematischen Fachbegriffen benennen, beispielsweise Summe, Summand, Produkt, Faktor, Quotient und Koeffizient. Einzelne oder mehrere Bestandteile eines Terms als zusammengehörige Einheit betrachten.

Beispiel: Den Term 2 · (8 + 7) als Produkt zweier Faktoren beschreiben. Dabei ist (8 + 7) sowohl ein einzelner Faktor als auch eine Summe aus zwei Summanden.

Den Wert eines Terms berechnen, indem vorgegebene Zahlen für die Variablen eingesetzt werden. Dabei auch Terme aus Formeln für Sachaufgaben verwenden. Die übliche Reihenfolge der Rechenoperationen beachten, einschließlich des Rechnens mit Potenzen mit nichtnegativen ganzzahligen Exponenten.

Beispiel: Mit den Formeln V = s³ und A = 6 · s² das Volumen und den Oberflächeninhalt eines Würfels mit der Kantenlänge s = ½ berechnen.

Rechengesetze anwenden, um Terme in gleichwertige Terme umzuformen.

Beispiele: Mithilfe des Distributivgesetzes 3 · (2 + x) zu 6 + 3x ausmultiplizieren oder aus 24x + 18y den gemeinsamen Faktor 6 ausklammern: 6 · (4x + 3y). Den Term y + y + y zu 3y zusammenfassen.

Erkennen, wann zwei Terme gleichwertig sind: Sie ergeben bei jeder zulässigen Einsetzung derselben Zahlen für die Variablen denselben Wert.

Beispiel: Die Terme y + y + y und 3y sind gleichwertig, weil sie unabhängig vom eingesetzten Wert für y immer dasselbe Ergebnis liefern.

Verstehen, dass beim Lösen einer Gleichung oder Ungleichung folgende Frage beantwortet wird: Welche Zahlen aus einer vorgegebenen Menge erfüllen die Gleichung oder Ungleichung? Dabei auch erkennen, wenn keine dieser Zahlen eine Lösung ist. Durch Einsetzen prüfen, ob eine vorgegebene Zahl die Gleichung oder Ungleichung erfüllt.

Variablen als Platzhalter für Zahlen verwenden und Terme aufstellen, um alltagsbezogene und mathematische Probleme zu lösen. Verstehen, dass eine Variable je nach Zusammenhang für eine bestimmte unbekannte Zahl oder für eine beliebige Zahl aus einer vorgegebenen Menge stehen kann.

Alltagsbezogene und mathematische Probleme lösen, indem Gleichungen der Form x + p = q und p · x = q aufgestellt und gelöst werden. Dabei sind p, q und x nichtnegative rationale Zahlen.

Bedingungen oder Einschränkungen in alltagsbezogenen und mathematischen Aufgaben durch Ungleichungen der Form x > c oder x < c ausdrücken. Erkennen, dass solche Ungleichungen unendlich viele Lösungen haben, und ihre Lösungsmengen auf der Zahlengeraden darstellen.

Zwei Größen, die sich in einer Sachsituation in Abhängigkeit voneinander verändern, durch Variablen darstellen. Eine Gleichung aufstellen, die die abhängige Variable durch die unabhängige Variable ausdrückt. Den Zusammenhang mithilfe von Graphen und Tabellen untersuchen und diese Darstellungen mit der Gleichung in Verbindung bringen.

Beispiel: Bei einer Bewegung mit gleichbleibender Geschwindigkeit Wertepaare aus Zeit und zurückgelegter Strecke in einer Tabelle erfassen und im Koordinatensystem darstellen. Den Zusammenhang zwischen Strecke d und Zeit t durch die Gleichung d = 65 · t beschreiben.

Die Flächeninhalte rechtwinkliger und anderer Dreiecke, besonderer Vierecke und weiterer Vielecke bestimmen. Dazu Figuren zu Rechtecken zusammensetzen oder in Dreiecke und andere Teilfiguren zerlegen. Diese Verfahren zum Lösen alltagsbezogener und mathematischer Probleme nutzen.

Das Volumen von Quadern mit Kantenlängen in Bruchschreibweise bestimmen, indem sie mit gleich großen kleinen Würfeln ausgefüllt werden. Deren Kantenlänge als passenden Stammbruch der verwendeten Längeneinheit wählen. Zeigen, dass sich dabei dasselbe Volumen ergibt wie durch das Multiplizieren der drei Kantenlängen.

Die Formeln V = l · b · h und V = G · h verwenden, um das Volumen solcher Quader in alltagsbezogenen und mathematischen Aufgaben zu berechnen. Dabei bezeichnet G den Flächeninhalt der Grundfläche.

Vielecke anhand vorgegebener Eckpunktkoordinaten im Koordinatensystem zeichnen. Mithilfe der Koordinaten die Länge einer Seite bestimmen, deren Endpunkte dieselbe x-Koordinate oder dieselbe y-Koordinate haben. Diese Verfahren zum Lösen alltagsbezogener und mathematischer Probleme nutzen.

Geometrische Körper durch Netze aus Rechtecken und Dreiecken darstellen. Mithilfe dieser Netze die Oberflächeninhalte der Körper bestimmen. Diese Verfahren zum Lösen alltagsbezogener und mathematischer Probleme nutzen.

Erkennen, dass bei einer statistischen Frage unterschiedliche Datenwerte zu erwarten sind und diese Unterschiede bei der Beantwortung berücksichtigt werden.

Beispiel: „Wie alt bin ich?“ ist keine statistische Frage. „Wie alt sind die Schülerinnen und Schüler an meiner Schule?“ ist dagegen eine statistische Frage, weil unterschiedliche Altersangaben zu erwarten sind.

Verstehen, dass die zur Beantwortung einer statistischen Frage erhobenen Daten eine Verteilung bilden. Diese lässt sich durch ihre zentrale Lage, ihre Streuung und ihre Gesamtform beschreiben.

Verstehen, dass ein Lagemaß die zentrale Lage einer Sammlung von Zahlenwerten durch eine einzige Zahl beschreibt. Ein Streumaß gibt dagegen mit einer einzigen Zahl an, wie stark sich die Werte voneinander unterscheiden.

Numerische Daten mithilfe einer Zahlenskala grafisch darstellen. Dabei Punktdiagramme (Dotplots), Histogramme und Boxplots verwenden.

Numerische Daten unter Berücksichtigung ihres Sachzusammenhangs zusammenfassen und beschreiben. Dazu die folgenden Angaben und Verfahren nutzen.

Angeben, wie viele Beobachtungen oder Messwerte erfasst wurden.

Das untersuchte Merkmal beschreiben. Dabei angeben, wie es gemessen wurde und welche Maßeinheit verwendet wurde.

Die zentrale Lage durch den Median und/oder das arithmetische Mittel beschreiben. Die Streuung durch den Interquartilsabstand und/oder die mittlere absolute Abweichung angeben. Übergreifende Muster und auffällige Abweichungen davon beschreiben und dabei den Sachzusammenhang berücksichtigen, in dem die Daten erhoben wurden.

Die Wahl der Lage- und Streumaße auf die Form der Datenverteilung und den Sachzusammenhang abstimmen, in dem die Daten erhoben wurden.