Die ganze Strecke aus einem Bruchteil berechnen – Klasse 5
In dieser Mathematikübung für die 5. Klasse bestimmst du eine ganze Zahl aus einem Bruchteil. Die Aufgabe handelt von einer Strecke: Ein Schüler ist 8 km gelaufen. Das sind vier Sechstel der gesamten Strecke. Nun findest du heraus, wie lang die ganze Strecke ist. Zur Auswahl stehen 12 km, 22 km, 24 km und 26 km.
So findest du die gesamte Strecke
Schau dir zuerst den Bruch genau an. Der Nenner 6 zeigt dir, dass die gesamte Strecke in sechs gleich große Teile eingeteilt wird. Der Zähler 4 bedeutet: Vier dieser Teile sind zusammen 8 km lang. Du musst also zuerst herausfinden, wie lang ein Teil ist.
- Teile 8 km durch 4. Ein Sechstel der Strecke ist 2 km lang.
- Die gesamte Strecke besteht aus sechs Sechsteln.
- Multipliziere 2 km mit 6. Die ganze Strecke ist 12 km lang.
Du kannst den Rechenweg auch kurz zusammenfassen: . Deshalb kreuzt du 12 km an. Eine Probe hilft dir: Vier Sechstel von 12 km sind 8 km. Das Ergebnis passt also zur Angabe.
Was lernst du bei dieser Bruchaufgabe?
Du übst, von einem bekannten Bruchteil auf das Ganze zu schließen. Dabei erkennst du die Aufgaben von Zähler und Nenner. Außerdem trainierst du, eine Sachaufgabe aufmerksam zu lesen, wichtige Angaben zu ordnen und passende Rechenschritte auszuwählen. Diese Fähigkeiten brauchst du bei vielen Aufgaben mit Strecken, Mengen und anderen Größen.
Ein Tipp für sicheres Rechnen
Frage dich immer: Ist die angegebene Zahl nur ein Teil oder bereits das Ganze? Hier sind 8 km nur vier von sechs gleich großen Teilen. Die gesamte Strecke muss deshalb länger als 8 km sein. Rechne Schritt für Schritt und prüfe dein Ergebnis mit dem ursprünglichen Bruch. Eltern und Lehrkräfte können das Verständnis unterstützen, indem sie nach jedem Rechenschritt fragen: Wie groß ist ein Teil, und wie viele Teile gehören zum Ganzen?
Zugehörige Standards
Brüche mit unterschiedlichen Nennern (einschließlich gemischter Zahlen) addieren und subtrahieren, indem die gegebenen Brüche durch gleichwertige Brüche ersetzt werden, sodass eine gleichnamige Summe oder Differenz entsteht.
Beispiel:
2/3 + 5/4 = 8/12 + 15/12 = 23/12.
Allgemein gilt:
a/b + c/d = (ad + bc) / bd.
Sachaufgaben zur Addition und Subtraktion von Brüchen lösen, die sich auf dasselbe Ganze beziehen, auch bei unterschiedlichen Nennern. Zur Darstellung des Problems visuelle Bruchmodelle oder Gleichungen verwenden.
Referenzbrüche (z. B. 1/2, 1) und ein sicheres Zahlverständnis nutzen, um Ergebnisse im Kopf abzuschätzen und deren Plausibilität zu überprüfen.
Beispiel: Ein falsches Ergebnis wie 2/5 + 1/2 = 3/7 erkennen, indem festgestellt wird, dass 3/7 kleiner als 1/2 ist.
Einen Bruch als Division des Zählers durch den Nenner interpretieren (a/b = a ÷ b).
Sachaufgaben zur Division natürlicher Zahlen lösen, deren Ergebnisse als Brüche oder gemischte Zahlen dargestellt werden. Zur Darstellung visuelle Bruchmodelle oder Gleichungen verwenden.
Beispiel: 3/4 als Ergebnis von 3 ÷ 4 verstehen und erkennen, dass 3/4 × 4 = 3 gilt. Wenn 3 Ganze gleichmäßig auf 4 Personen verteilt werden, erhält jede Person 3/4.
Wenn 9 Personen einen 50-Pfund-Sack Reis gleichmäßig aufteilen, wie viele Pfund erhält jede Person? Zwischen welchen zwei natürlichen Zahlen liegt das Ergebnis?
Vorhandenes Verständnis der Division anwenden und erweitern, um Einheitsbrüche durch natürliche Zahlen sowie natürliche Zahlen durch Einheitsbrüche zu dividieren.
a) Die Division eines Einheitsbruchs durch eine von Null verschiedene natürliche Zahl deuten und berechnen.
Beispiel: Eine Sachsituation zu (1/3) ÷ 4 formulieren und mithilfe eines visuellen Bruchmodells den Quotienten darstellen. Den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division nutzen, um zu erklären, dass
(1/3) ÷ 4 = 1/12 gilt, weil (1/12) × 4 = 1/3.
Hinweis: Schülerinnen und Schüler, die Brüche allgemein multiplizieren können, können durch den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division auch Strategien zur Division von Brüchen entwickeln. Die Division eines Bruchs durch einen Bruch ist jedoch in dieser Klassenstufe nicht verpflichtend.
b) Die Division einer natürlichen Zahl durch einen Einheitsbruch deuten und berechnen.
Beispiel: Eine Sachsituation zu 4 ÷ (1/5) formulieren und mithilfe eines visuellen Bruchmodells den Quotienten darstellen. Den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division nutzen, um zu erklären, dass
4 ÷ (1/5) = 20 gilt, weil 20 × (1/5) = 4.
c) Sachaufgaben aus dem Alltag lösen, die die Division von Einheitsbrüchen durch natürliche Zahlen sowie von natürlichen Zahlen durch Einheitsbrüche erfordern. Zur Darstellung visuelle Bruchmodelle und Gleichungen verwenden.
Beispiele:
Wie viel Schokolade erhält jede Person, wenn 3 Personen 1/2 Pfund Schokolade gleichmäßig teilen?
Wie viele Portionen zu 1/3 Tasse ergeben sich aus 2 Tassen Rosinen?
Die Schülerinnen und Schüler ...
- multiplizieren und dividieren natürliche Zahlen automatisiert schriftlich, auch wenn Faktoren mehr als zwei Stellen haben bzw. Divisoren größer als zehn sind. Ihre Ergebnisse überprüfen sie durch Abschätzen der Größenordnung kritisch.
- faktorisieren natürliche Zahlen und ermitteln deren Primfaktorzerlegung, wobei sie sich der Eindeutigkeit dieser Zerlegung bewusst sind; beim Faktorisieren wenden sie auch Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 3, 5 und 10 zielgerichtet an und argumentieren mit ihnen.
- erkennen, ob in einem realitätsnahen Kontext das Zählprinzip angewendet werden kann, und nutzen dieses sowie Baumdiagramme zur systematischen Bestimmung von Anzahlen.
- machen die Vorzeichenregeln für die Multiplikation und Division ganzer Zahlen altersgemäß plausibel und berechnen die Werte von Produkten und Quotienten ganzer Zahlen, bei angemessen gewählten Zahlen auch im Kopf.
- erkennen und nutzen Rechenvorteile, die sich durch Anwenden von Kommutativ- und Assoziativgesetz ergeben.
- berechnen die Werte von Potenzen mit natürlichen Exponenten und ganzzahligen Basen, verwenden Zehnerpotenzen, um große natürliche Zahlen situationsangemessen darzustellen, und nutzen Potenzen auch in Sachzusammenhängen (z. B. zur Beschreibung von Phänomenen, denen ein wiederholtes Verdoppeln zugrunde liegt); sie verfügen über ein automatisiertes Wissen der Quadratzahlen bis 400.
- lösen Gleichungen der Form a ⋅ x = b, x : a = b und a : x = b, wie in der Grundschule angebahnt, durch systematisches Probieren oder durch Bildung der jeweiligen Umkehraufgabe.
