Bruchterme kürzen: Stimmt die Gleichung? (Klasse 6)
Brüche erweitern und kürzen heißt: Du veränderst ihre Schreibweise, aber nicht ihren Wert. In dieser Mathematikübung auf Schlaumik.de prüfst du, ob zwei Bruchterme gleich sind. Du siehst eine Gleichung und entscheidest dich für „Ja“ oder „Nein“. Die Aufgabe passt zum Mathematikunterricht der 6. Klasse.
Bruchterme mit Buchstaben vergleichen
Ein Bruch hat einen Zähler über dem Bruchstrich und einen Nenner darunter. Beim Erweitern multiplizierst du beide mit derselben Zahl. Beim Kürzen teilst du beide durch dieselbe Zahl. Diese Zahl darf nicht 0 sein. Wenn du diese Regel einhältst, bleibt der Wert des Bruchs gleich.
Die Buchstaben stehen hier für Zahlen. In der gezeigten Gleichung wird der Zähler durch s geteilt. Dasselbe geschieht mit dem Nenner. Der Doppelpunkt bedeutet „geteilt durch“.
So prüfst du die Gleichung
- Vergleiche die Zähler und die Nenner auf beiden Seiten.
- Prüfe, ob Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl geteilt werden.
- Beachte die Klammer: Die ganze Summe gehört zum Nenner.
- Überlege, ob der Wert gleich bleibt. Wähle dann „Ja“ oder „Nein“.
Wichtig: Durch 0 darfst du nicht teilen. Der Buchstabe s darf deshalb nicht für 0 stehen. Auch die Summe im Nenner darf nicht 0 sein. Für alle erlaubten Werte kannst du die Division rückgängig machen: Multipliziere Zähler und Nenner mit der Zahl, durch die beide geteilt wurden. So erkennst du, ob die rechte Seite zur linken passt.
Achte besonders auf die Klammer. Die ganze Summe im Nenner wird geteilt, nicht nur ein Teil davon. Einzelne Teile einer Summe darfst du nicht einfach wegstreichen. Schau deshalb immer auf den vollständigen Zähler und Nenner.
Du musst die Werte der Buchstaben nicht kennen. Es geht darum, die Regel für gleichwertige Brüche zu erkennen und richtig anzuwenden. Ob du zu Hause oder im Unterricht übst: Gehe in Ruhe Schritt für Schritt vor. So lernst du, deine Entscheidung zu begründen, statt nur zu raten.
Zugehörige Standards
Verhältnisse und Werte pro Einheit nutzen, um alltagsbezogene und mathematische Probleme zu lösen, beispielsweise mithilfe von Tabellen mit gleichwertigen Verhältnissen, Streifendiagrammen, doppelten Zahlenstrahlen oder Gleichungen.
Tabellen mit gleichwertigen Verhältnissen für Größen mit ganzzahligen Maßzahlen erstellen, fehlende Tabellenwerte bestimmen und die Wertepaare als Punkte in ein Koordinatensystem eintragen. Tabellen zum Vergleichen von Verhältnissen nutzen.
Aufgaben zu Werten pro Einheit lösen, unter anderem zu Preisen pro Einheit und zu gleichbleibenden Geschwindigkeiten.
Beispiel: „Das Mähen von vier gleich großen Rasenflächen dauerte sieben Stunden. Wie viele solcher Rasenflächen könnten bei gleichem Arbeitstempo in 35 Stunden gemäht werden? Wie viele Rasenflächen wurden pro Stunde gemäht?“
Prozentangaben als Anteile von Hundert verstehen und den Prozentwert einer Größe berechnen. Beispielsweise entsprechen 30 % einer Größe dem (\frac{30}{100})-Fachen dieser Größe. Aufgaben lösen, bei denen der Grundwert aus einem gegebenen Prozentwert und dem zugehörigen Prozentsatz bestimmt wird.
Verhältnisse zum Umrechnen von Maßeinheiten nutzen. Beim Multiplizieren und Dividieren von Größen Einheiten korrekt mitführen, kürzen und umformen.
Rechengesetze anwenden, um Terme in gleichwertige Terme umzuformen.
Beispiele: Mithilfe des Distributivgesetzes 3 · (2 + x) zu 6 + 3x ausmultiplizieren oder aus 24x + 18y den gemeinsamen Faktor 6 ausklammern: 6 · (4x + 3y). Den Term y + y + y zu 3y zusammenfassen.
Erkennen, wann zwei Terme gleichwertig sind: Sie ergeben bei jeder zulässigen Einsetzung derselben Zahlen für die Variablen denselben Wert.
Beispiel: Die Terme y + y + y und 3y sind gleichwertig, weil sie unabhängig vom eingesetzten Wert für y immer dasselbe Ergebnis liefern.
Kompetenzerwartungen und Inhalte
Die Schülerinnen und Schüler ...
- erkennen die Struktur von Termen, die durch die Verbindung der Grundrechenarten und durch Klammersetzung entstehen, beschreiben diese unter Verwendung der entsprechenden Fachbegriffe und berechnen den Wert solcher Terme in fortlaufender, klar strukturierter Rechnung.
- berechnen auf der Grundlage eines gewachsenen Verständnisses von Zahlen und Termstrukturen die Werte überschaubarer Terme mit einfachen rationalen Zahlen im Kopf.
- nutzen gezielt Rechenvorteile, die sich z. B. durch Anwendung von Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz ergeben.
- lösen Problemstellungen in Sachzusammenhängen, bei denen unterschiedliche Rechenarten oder auch Anteile von Anteilen vorkommen (z. B. zu Aspekten der Globalisierung und nachhaltigen Entwicklung sowie zu politischen Sachverhalten). Dabei verwenden sie auch geeignete Skizzen und sind sich deren Bedeutung für das Problemlösen bewusst. Sie recherchieren ggf. zusätzlich benötigte Informationen sorgfältig (z. B. im Internet) und überprüfen ihre Lösungen kritisch im Sachzusammenhang oder mithilfe einer Überschlagsrechnung.
