Die waagerechte Diagonale ist PR = (4 − (−2)) · 1 cm = 6 cm lang. Die senkrechte Diagonale ist QS = (5 − (−3)) · 1 cm = 8 cm lang. Der Flächeninhalt einer Raute ist das halbe Produkt ihrer Diagonalen. Ursprünglich beträgt er daher (6 · 8) : 2 = 24 cm². Durch das Verschieben beider seitlicher Ecken wird die waagerechte Diagonale 6 + 2 + 2 = 10 cm lang. Die senkrechte Diagonale bleibt 8 cm lang. Der neue Flächeninhalt beträgt (10 · 8) : 2 = 40 cm². Die Zunahme beträgt 40 − 24 = 16 cm².

Die sechs Mitglieder zahlen zusammen ein: 6 · 1,35 € = 8,10 €. Der Anfangsbestand wird einmal dazugezählt: 8,40 € + 8,10 € = 16,50 €. Richtig ist die Aussage, dass der Anfangsbestand nur einmal zählt und danach 16,50 € in der Kasse liegen. Anna hat mit ihrer Klammer auch den Anfangsbestand sechsmal gezählt.

Die größte im Diagramm gezeigte Sprungweite beträgt 4,5 m. Anna hat die kleinste Sprungweite. Deshalb ist 4,5 m auch der größte Wert aller fünf Sprünge. Es gilt: Spannweite = größter Wert − kleinster Wert. Den kleinsten Wert erhält man daher, indem man die Spannweite vom größten Wert abzieht: 4,5 m − 1,7 m = 2,8 m. Anna ist 2,8 m weit gesprungen. Kontrolle: 4,5 m − 2,8 m = 1,7 m.

Zerlege das Zahlwort nach den Stellenwerten: 6 Milliarden = 6 000 000 000. 80 Millionen = 80 000 000. Addiere beide Teile: 6 000 000 000 + 80 000 000 = 6 080 000 000. Die Millionengruppe muss also 080 lauten. Bens Eintrag enthält dagegen die Millionengruppe 800, also 800 Millionen. Richtig ist die Rückmeldung: 6 080 000 000, weil im Eintrag 800 statt 80 Millionen stehen.

Eine lineare Funktion hat die Form y = m · x + b. Wenn x um 1 zunimmt und y dabei um 2 abnimmt, ist die Steigung m = −2. Der Punkt (−3 | 0) liegt auf dem Graphen. Setze deshalb x = −3 und y = 0 ein: 0 = −2 · (−3) + b 0 = 6 + b Daraus folgt b = −6. Die passende Funktionsgleichung lautet y = −2x − 6. Probe: Für x = −3 ergibt sich y = 6 − 6 = 0.

Die Rechenschritte werden in umgekehrter Reihenfolge rückgängig gemacht. Zuletzt wurde durch 4 geteilt. Die Umkehroperation ist das Multiplizieren mit 4: 6 · 4 = 24. Davor wurden 7 abgezogen. Deshalb werden nun 7 addiert: 24 + 7 = 31. Richtig ist die Rechnung 6 · 4 + 7 = 31. Probe: (31 − 7) : 4 = 24 : 4 = 6.

Addiere für jedes Team die drei abgelesenen Höhen und teile die Summe durch 3. Team Nord: (6 cm + 6 cm + 18 cm) : 3 = 30 cm : 3 = 10 cm. Team Süd: (8 cm + 10 cm + 12 cm) : 3 = 30 cm : 3 = 10 cm. Beide Teams erreichen im Durchschnitt 10 cm und teilen sich deshalb den Preis. Der höchste einzelne Turm ist für die Entscheidung nicht ausschlaggebend.

Berechne zunächst die gesamte Trefferzahl jeder Gruppe. Multipliziere dafür den jeweiligen Durchschnitt mit der Personenzahl: Gruppe A: 4 · 6 = 24 Treffer. Gruppe B: 8 · 9 = 72 Treffer. Zusammen erzielen die zwölf Jugendlichen: 24 + 72 = 96 Treffer. Teile die gesamte Trefferzahl durch die gesamte Personenzahl: 96 : 12 = 8 Treffer pro Person. Richtig ist „8 Treffer pro Person“. Die beiden Gruppenmittelwerte darf man hier nicht einfach mit (6 + 9) : 2 mitteln, weil die Gruppen unterschiedlich groß sind.

Wird eine Sternkarte entfernt, bleiben 2 Sternkarten und 7 Blankokarten. Unter den 9 Karten sind also 2 Gewinnkarten. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 2/9. Wird eine Blankokarte entfernt, bleiben 3 Sternkarten und 6 Blankokarten. Unter den 9 Karten sind also 3 Gewinnkarten. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 3/9 = 1/3.

Aus dem Diagramm liest man P (2 | 12), Q (12 | 2) und R (4 | 6) ab. Der gemeinsame Flächeninhalt beträgt: A = 4 cm · 6 cm = 24 cm². Von P nach Q geht man 10 Einheiten nach rechts und 10 Einheiten nach unten. Bei einer parallelen Strecke müssen die waagerechte und die senkrechte Änderung ebenfalls gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sein. Für S (6 | 4) gilt: 6 cm · 4 cm = 24 cm². Von R nach S geht man 2 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten. Daher ist RS parallel zu PQ. Richtig ist also S (6 | 4). Bei S (3 | 8) stimmt zwar der Flächeninhalt. Von R aus geht man aber 1 Einheit nach links und 2 nach oben: Die Strecke ist nicht parallel zu PQ. S (5 | 5) liegt zwar auf der passenden Parallelen, beschreibt aber ein Quadrat mit 25 cm² Flächeninhalt. Bei R (4 | 6) und S (6 | 4) sind Breite und Länge vertauscht. Die Rechtecke sind deshalb deckungsgleich. Die beiden Punkte sind Spiegelbilder an der Geraden y = x.

Ein Quader hat drei Paare gleich großer Rechtecksflächen. Die Flächeninhalte sind: 4 cm · 3 cm = 12 cm², 4 cm · 2 cm = 8 cm², 3 cm · 2 cm = 6 cm². Jede dieser Flächen kommt zweimal vor. Insgesamt werden deshalb 2 · (12 + 8 + 6) cm² = 52 cm² Folie benötigt. Für den Folienstreifen gilt: Fläche = Breite · Länge. Die benötigte Länge beträgt daher 52 cm² : 4 cm = 13 cm. Da alle Stücke ohne Verschnitt ausgeschnitten werden können und keine Überlappungen nötig sind, reichen 13 cm genau aus.

Für ein Rechteck gilt: Flächeninhalt = Länge · Breite. Rechteck P: 9 cm · 6 cm = 54 cm². Rechteck Q: 11 cm · 4 cm = 44 cm². Der Unterschied beträgt 54 cm² − 44 cm² = 10 cm². Rechteck P hat einen um 10 cm² größeren Flächeninhalt als Rechteck Q. Ben hat nicht recht: Gleicher Umfang bedeutet nicht gleicher Flächeninhalt.

Der Bruch 2/7 bedeutet: Von sieben gleich großen Teilen des Tankvolumens sind zwei mit Wasser gefüllt. Umrechnung in Prozent: (2 : 7) · 100 % = 28,5714… %. Auf ganze Prozent gerundet beträgt der Füllstand 29 %. Der tatsächliche Füllstand ist kleiner als 30 %. Deshalb leuchtet die Warnleuchte. Richtig ist: „Füllstand: 29 %. Die Warnleuchte leuchtet.“

Die während dieser Fahrt zurückgelegte Strecke ist die Differenz der Zählerstände: 31 m − 18 m = 13 m. Diese 13 m umfassen Hinweg und Rückweg. Beide Wege sind gleich lang. Deshalb halbieren wir die gefahrene Strecke: 13 m : 2 = 6,5 m. Die Tür ist 6,5 m von der Ladestation entfernt.

In der nächsten Runde, also Runde 13, erhält Ben 13 Punkte: 78 + 13 = 91 Punkte. Damit hat er das Ziel von 105 Punkten noch nicht erreicht. In Runde 14 kommen 14 Punkte hinzu: 91 + 14 = 105 Punkte. Nach einer weiteren Runde reicht es noch nicht, nach zwei weiteren Runden ist das Ziel erreicht. Ben muss mindestens 2 weitere Runden spielen.

1 kg = 1000 g. Deshalb sind 300 g = 0,3 kg. Die Masse muss also mindestens 0,3 kg und höchstens 4 kg betragen. Eine mittelgroße Honigmelone wiegt ungefähr 1 bis 2 kg. Ihre Masse liegt im Messbereich. Ein Holzbleistift und ein leerer Briefumschlag wiegen jeweils nur wenige Gramm. Eine Waschmaschine wiegt dagegen mehrere Dutzend Kilogramm. Diese Gegenstände liegen außerhalb des Messbereichs. Passend ist daher die mittelgroße Honigmelone.

Zerlege die Zahl: 0,397 = 0,39 + 0,007. Sie ist also größer als 0,39. Ein Hundertstelschritt weiter ergibt: 0,39 + 0,01 = 0,40. Zum Vergleichen kannst du Nullen ergänzen: 0,39 = 0,390 und 0,40 = 0,400. Die Zahl 0,397 ist größer als 0,390 und kleiner als 0,400. Die untere Grenze ist 0,39, die obere Grenze ist 0,40.

Modell A: Ein kleiner Würfel hat bei 1 cm³ Volumen eine Kantenlänge von 1 cm. Die Zeichnung zeigt vier kleine Würfel pro Kante. Die Kantenlänge des großen Würfels beträgt daher 4 · 1 cm = 4 cm. Modell B: Weil 2 cm · 2 cm · 2 cm = 8 cm³ gilt, hat ein kleiner Würfel die Kantenlänge 2 cm. Zwei kleine Würfel pro Kante ergeben ebenfalls 2 · 2 cm = 4 cm. Zur gesamten Oberfläche gehören alle sechs Außenflächen, auch die drei nicht sichtbaren. Für beide Modelle gilt deshalb: O = 6 · 4 cm · 4 cm = 96 cm². Richtig ist: Beide Modelle haben eine Oberfläche von 96 cm². Ben irrt mit seiner Schlussfolgerung. Modell B besteht zwar aus weniger kleinen Würfeln, diese sind aber größer.

Zuerst berechnen wir die Saftmenge, die verteilt wird. Ein Viertel von 6 Litern: 6 : 4 = 1,5 Liter. Drei Viertel von 6 Litern: 3 · 1,5 = 4,5 Liter. Diese Menge wird gleichmäßig auf zwei Kannen verteilt: 4,5 : 2 = 2,25 Liter. Jede Kanne enthält danach 2,25 Liter Apfelsaft.

Die zusätzliche Wasserschicht muss 6 cm − 4,5 cm = 1,5 cm hoch sein. Die Bodenfläche beträgt 30 cm · 20 cm = 600 cm². Das zusätzliche Wasservolumen ist Bodenfläche mal Schichthöhe: 600 cm² · 1,5 cm = 900 cm³. Anna muss 900 cm³ Wasser nachfüllen.