Zwischen 21 °C und 22 °C liegen zehn gleich große Abschnitte. Ein Abschnitt entspricht (22 − 21) : 10 = 0,1 °C. Die Dreiecksspitze steht sechs Abschnitte nach 21 °C. Der analoge Messwert beträgt daher 21 + 6 · 0,1 = 21,6 °C. Die nötige Erhöhung beträgt 21,6 − 21,2 = 0,4 °C. Probe: 21,2 °C + 0,4 °C = 21,6 °C.

Die reine Übertragungszeit beträgt 8 − 2 = 6 Sekunden. Einsetzen in die Formel: v = 95 / 6 = 15,8333… MB pro Sekunde. Die Hundertstelziffer ist 3. Auf eine Nachkommastelle gerundet ergibt das 15,8 MB pro Sekunde. 15,8 ist kleiner als 16,0. Daher lautet die richtige Anzeige „15,8 MB pro Sekunde – zu langsam“.

Gleich teure Tarife erkennt man an einem Schnittpunkt ihrer Linien. Gesucht ist ein Schnittpunkt, der unter der Linie des anderen Tarifs liegt. Bei 80 km kosten Tarif A und Tarif C jeweils 140 €. Tarif B kostet dort 160 €. 160 € − 140 € = 20 € Tarif B ist also 20 € teurer. Damit ist 80 km richtig. Bei 40 km sind B und C gleich teuer, aber A ist günstiger. Bei 120 km sind A und B gleich teuer, aber C ist günstiger. Bei 160 km sind alle drei Preise verschieden.

Auf Annas vier Bögen sind 4 · x Sticker. Dazu kommen einmalig 9 lose Sticker. Insgesamt hat sie also 4x + 9 Sticker. Ben hat entsprechend 2x + 25 Sticker. Da beide Gesamtzahlen gleich sind, lautet die passende Gleichung: 4x + 9 = 2x + 25. Zur Kontrolle: Zieht man auf beiden Seiten 2x und anschließend 9 ab, erhält man 2x = 16, also x = 8. Dann haben Anna und Ben tatsächlich jeweils 41 Sticker: 4 · 8 + 9 = 41 und 2 · 8 + 25 = 41.

Für einen Würfel gilt: Volumen = Kantenlänge · Kantenlänge · Kantenlänge. Wird die Kantenlänge halbiert, wird das Volumen durch 2 · 2 · 2 = 8 geteilt. Die ursprüngliche Kantenlänge beträgt laut Abbildung 24 cm. Nach einem Schritt: Kantenlänge 12 cm, Volumen 12 · 12 · 12 = 1728 cm³. Nach zwei Schritten: Kantenlänge 6 cm, Volumen 6 · 6 · 6 = 216 cm³. Nach drei Schritten: Kantenlänge 3 cm, Volumen 3 · 3 · 3 = 27 cm³. 216 cm³ sind noch größer als 100 cm³. Erst 27 cm³ sind kleiner als 100 cm³. Richtig ist daher: Nach 3 Schritten.

Innerhalb einer Papiersorte ist die Stapelhöhe proportional zur Blattzahl. Sorte A: 600 : 150 = 4. Der Stapel aus 600 Blatt ist daher 4 · 12 mm = 48 mm hoch. Sorte B: 600 : 200 = 3. Der Stapel aus 600 Blatt ist daher 3 · 18 mm = 54 mm hoch. 48 mm liegen unter der erlaubten Höhe von 50 mm. 54 mm überschreiten sie. Nur Sorte A erfüllt die Höhenvorgabe.

Du bestimmst die Veränderung, indem du vom Wert eines Monats den Wert des Vormonats abziehst. Februar: 300 − 200 = 100 Bücher mehr. März: 250 − 300 = −50, also 50 Bücher weniger. April: 400 − 250 = 150 Bücher mehr. Mai: 450 − 400 = 50 Bücher mehr. Die Aussage passt zum April: Dort wurden genau 150 Bücher mehr ausgeliehen als im März.

Jeder Ausleihvorgang zählt einmal. Zähle, wie oft jede Bücherzahl in der Liste vorkommt: 1 Buch: 1 Ausleihvorgang. 2 Bücher: 5 Ausleihvorgänge. 3 Bücher: 4 Ausleihvorgänge. 4 Bücher: 6 Ausleihvorgänge. Die Häufigkeiten für 2 Bücher und 3 Bücher müssen vertauscht werden: Bei 2 Büchern muss 5 stehen, bei 3 Büchern muss 4 stehen. Kontrolle: 1 + 5 + 4 + 6 = 16 Ausleihvorgänge. Auch Emmas falsche Häufigkeiten ergeben zusammen 16. Die richtige Gesamtsumme allein garantiert also keine richtige Tabelle.

Es zählen nur frei liegende senkrechte Einzelflächen. Auch die senkrechten Flächen an den Stufen zählen mit. Modell A: Nach vorne und hinten sind es jeweils 2 + 2 + 3 = 7 Flächen. Nach rechts und links sind es jeweils 2 + 3 = 5 Flächen. Benötigt werden also 2 · 7 + 2 · 5 = 24 Aufkleber. Modell B: Nach vorne und hinten sind es jeweils 3 + 3 + 3 = 9 Flächen. Nach rechts und links sind es jeweils 1 + 3 = 4 Flächen. Benötigt werden also 2 · 9 + 2 · 4 = 26 Aufkleber. Bei Modell A bleibt von den 25 Aufklebern einer übrig. Bei Modell B fehlt ein Aufkleber. Eine Packung reicht daher für Modell A, aber nicht für Modell B.

Zuerst werden für jeden halbstündigen Abschnitt die Bücher und Zeitschriften zusammengezählt: 13:00–13:30 Uhr: 2 + 3 = 5 Rückgaben. 13:30–14:00 Uhr: 4 + 2 = 6 Rückgaben. 14:00–14:30 Uhr: 3 + 5 = 8 Rückgaben. 14:30–15:00 Uhr: 6 + 3 = 9 Rückgaben. Eine Stunde umfasst jeweils zwei benachbarte Abschnitte: 13:00–14:00 Uhr: 5 + 6 = 11 Rückgaben. 13:30–14:30 Uhr: 6 + 8 = 14 Rückgaben. 14:00–15:00 Uhr: 8 + 9 = 17 Rückgaben. Der gesuchte Zeitraum ist also 13:30 Uhr bis 14:30 Uhr.

Die neue Mannschaft spielt gegen jede bisher angemeldete Mannschaft genau einmal. Es kommen 91 − 78 = 13 Spiele hinzu. Also waren vorher 13 Mannschaften angemeldet. Mit der neuen Mannschaft nehmen nun 13 + 1 = 14 Mannschaften teil.

Prüfe die Übergänge anhand der Verbindungslinien: Foyer → Atelier ist direkt möglich. Zwischen Atelier und Filmraum gibt es keine direkte Verbindung. Filmraum → Café und Café → Shop sind jeweils direkt möglich. Gesucht ist daher Atelier → Filmraum. Hier müsste man beispielsweise die Galerie durchqueren: Atelier → Galerie → Filmraum.

Jede Sorte lässt sich mit den drei anderen Sorten kombinieren. Deshalb braucht man von jeder Sorte genau 3 Teebeutel. Minze: 3 − 2 = 1 zusätzlicher Teebeutel. Fenchel: 3 − 1 = 2 zusätzliche Teebeutel. Bei Kamille und Hagebutte reicht der Vorrat jeweils aus. Insgesamt müssen mindestens 1 + 2 = 3 Teebeutel zusätzlich besorgt werden. Der übrige Kamillenteebeutel kann keinen fehlenden Minz- oder Fenchelteebeutel ersetzen.

Das gerade dreieckige Prisma hat zwei dreieckige und drei rechteckige Flächen: 2 + 3 = 5 Flächen. Die Pyramide hat vier dreieckige Seitenflächen und eine quadratische Grundfläche: 4 + 1 = 5 Flächen. Beide Körper haben also fünf Flächen und jeweils dreieckige sowie viereckige Flächen. Die Frage „Hat der Körper genau zwei dreieckige Flächen?“ unterscheidet sie eindeutig: Bei „Ja“ ist es das Prisma, bei „Nein“ die Pyramide. Die übrigen Fragen werden bei beiden Körpern mit „Ja“ beantwortet.

Die gesamte Plakatfläche entspricht 100 %. Der blaue Bereich ist ungefähr zwei Fünftel des Rechtecks breit und genauso hoch wie das ganze Rechteck. Somit sind bereits etwa 40 % der Fläche blau. Bis zum gewünschten Anteil fehlen ungefähr 75 % − 40 % = 35 % der gesamten Fläche. Es müssen also noch etwa 35 % der Plakatfläche zusätzlich blau gefärbt werden.

Anna legt in der ersten Minute 100 m zurück: 100 m : 1 min = 100 m/min. Von Minute 1 bis Minute 3 verläuft ihre Linie waagerecht. Der zurückgelegte Weg ändert sich nicht: Anna macht zwei Minuten Pause. Von Minute 3 bis Minute 4 fährt Anna wieder 100 m in einer Minute, also mit 100 m/min. Ben legt in jeder Minute 50 m zurück: 50 m : 1 min = 50 m/min. Anna fährt während ihrer Fahrabschnitte schneller als Ben. Ihre Linie steigt dabei steiler an. Wegen ihrer Pause kommen trotzdem beide nach 4 Minuten am 200 m entfernten Ziel an. Bens Schluss ist deshalb falsch.

Das Quadrat in der Mitte der Dreierreihe grenzt links, rechts und in der Draufsicht unten an je ein weiteres Quadrat. Der zugehörige Würfel berührt also drei andere Würfel mit jeweils einer ganzen Seitenfläche. Seine drei Kontaktflächen bleiben ungefärbt. Die drei übrigen Würfel berühren jeweils nur den mittleren Würfel. Bei jedem von ihnen bleibt deshalb genau eine Fläche ungefärbt. Richtig ist: Ein Würfel hat drei ungefärbte Flächen, die drei anderen haben je eine. Zur Kontrolle: Insgesamt sind das 3 + 3 · 1 = 6 ungefärbte Flächen.

Es gibt 12 gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Für jedes Ereignis gilt: Wahrscheinlichkeit = Anzahl günstiger Ergebnisse / 12. Da 1/4 = 3/12 gilt, müssen genau drei Zahlen günstig sein. Durch 4 teilbar sind 4, 8 und 12. Die Wahrscheinlichkeit beträgt daher 3/12 = 1/4. Kleiner als 4 sind 1, 2 und 3. Auch dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit 3/12 = 1/4. Die anderen Ereignisse passen nicht: Es gibt sechs gerade Zahlen, also beträgt ihre Wahrscheinlichkeit 6/12 = 1/2. Mindestens 9 sind die vier Zahlen 9, 10, 11 und 12. Dafür gilt 4/12 = 1/3.

Der Lospreis beträgt 2 €. Bei einer Auszahlung von 2 € erhält man nur den Lospreis zurück. Nur die Auszahlungen von 4 € und 10 € sind höher als der Lospreis. Dafür gibt es 12 + 6 = 18 Lose. Von insgesamt 120 gleich wahrscheinlichen Losen erfüllen also 18 die Bedingung: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 18/120. Kürze Zähler und Nenner durch 6: 18 : 6 = 3 und 120 : 6 = 20. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 3/20.

Wegen PQ = PS ist das Dreieck PQS gleichschenklig. Seine Basiswinkel bei Q und S sind gleich groß. Mit der Innenwinkelsumme ergibt sich für den Teilwinkel bei Q: ∠PQS = (180° − α) : 2. Wegen RQ = RS ist auch das Dreieck RQS gleichschenklig. Entsprechend gilt: ∠SQR = (180° − β) : 2. Der gesamte Winkel PQR setzt sich aus diesen beiden Teilwinkeln zusammen: ∠PQR = (180° − α) : 2 + (180° − β) : 2 ∠PQR = 180° − (α + β) : 2. Mit der Zusatzangabe α + β = 180° folgt: ∠PQR = 180° − 180° : 2 = 90°. Damit ist der rechte Winkel nachgewiesen. α + β = 90° würde dagegen einen Winkel von 135° ergeben. Die Angaben α = β und α − β = 90° legen die Summe α + β nicht fest und garantieren deshalb keinen rechten Winkel.