Jeder Würfel liefert 4 freie seitliche Quadratflächen. Zusätzlich ist genau eine Fläche ganz oben frei. Die Unterseite des Turms liegt auf der Tischplatte und zählt nicht mit. Von den gewünschten 45 freien Flächen ist eine die oberste Fläche: 45 − 1 = 44 seitliche Würfelflächen. Die nötige Würfelanzahl beträgt deshalb: 44 : 4 = 11 Würfel. Die Zeichnung zeigt bereits 5 Würfel. Zusätzlich benötigt man also: 11 − 5 = 6 Würfel. Probe: Der fertige Turm hat 11 · 4 + 1 = 45 freie Würfelflächen.

Mache Bens Rechenschritte in umgekehrter Reihenfolge rückgängig. Vor dem Bilden des Vorgängers stand die Zahl: 77 + 1 = 78. Vor dem Verdoppeln stand deshalb: 78 : 2 = 39. Ben hat die Ausgangszahl 39 verwendet. Bei der vorgesehenen Reihenfolge wird zuerst der Vorgänger bestimmt: 39 − 1 = 38. Anschließend wird dieser verdoppelt: 2 · 38 = 76. Die Ausgangszahl lautet 39, das richtige Ergebnis ist 76.

M halbiert die Diagonale BD. Daher sind BM und MD gleich lang: BD = 2 · BM = 2 · (y + 3) cm = (2y + 6) cm. Eine Raute ist genau dann ein Quadrat, wenn ihre Diagonalen gleich lang sind. Deshalb muss AC = BD gelten: 2x + 6 = 2y + 6 2x = 2y x = y Die gesuchte Rechenregel lautet y = x. Mit ihr sind für jede positive Zahl x beide Diagonalen (2x + 6) cm lang.

Hin- und Rückflug sind gleich lang. Ein Messort darf deshalb höchstens 180 km : 2 = 90 km vom Flugplatz entfernt sein. Die gesamte Maßstabsleiste entspricht 40 km. Durch Vergleichen erhältst du ungefähr diese Luftlinien: Wetterstation: 50 km Talsperre: 80 km Bergstation: 100 km Sendeturm: 120 km Wetterstation und Talsperre liegen innerhalb der erlaubten Entfernung. Die Talsperre ist von diesen beiden Orten weiter entfernt. Probe: Hin- und Rückflug zur Talsperre ergeben 2 · 80 km = 160 km. Das sind weniger als 180 km. Gesucht ist die Talsperre.

Die Einnahmen jeder AG sind jeweils der Grundwert. Berechne davon den angegebenen Anteil. Foto-AG: 10 % von 200 € sind 20 €, weitere 5 % sind 10 €. Die Spende beträgt 20 € + 10 € = 30 €. Theater-AG: 10 % von 170 € sind 17 €. Für 20 % verdoppelst du: 2 · 17 € = 34 €. Garten-AG: 25 % sind ein Viertel. Die Spende beträgt 160 € : 4 = 40 €. Bastel-AG: 10 % von 340 € sind 340 € : 10 = 34 €. Die Spendenpläne der Theater-AG und der Bastel-AG ergeben jeweils genau 34 €.

Bei einer Palindromzahl stimmen die äußeren Ziffern überein. Auch die jeweils nächstinneren Ziffern müssen gleich sein. Liste A: Für die größtmögliche Zahl stehen die beiden 8 außen. Die beiden 4 kommen dazwischen. Das ergibt 8448. Liste B: Die 5 kommt nur einmal vor. Sie muss in der Mitte stehen, da alle anderen Stellen ein gleiches Gegenüber brauchen. Die beiden 7 stehen außen, damit die Zahl möglichst groß wird. Die beiden 2 stehen neben der Mitte. Das ergibt 72527. Probe: 8448 und 72527 bleiben rückwärts gelesen unverändert. Beide verwenden genau die vorgegebenen Ziffern.

Die vier Seiten eines Quadrats sind gleich lang. Die 28 m Band verteilen sich deshalb gleichmäßig auf vier Seiten. Seitenlänge: 28 m : 4 = 7 m. Den Flächeninhalt eines Quadrats berechnet man durch Seitenlänge mal Seitenlänge: A = 7 m · 7 m = 49 m². Die Tanzfläche ist 49 m² groß.

Zwischen A, B, C und D sind insgesamt 6 Strecken möglich: AB, AC, AD, BC, BD und CD. AB und BC sind schon eingezeichnet. Im ersten Schritt kommen deshalb 6 − 2 = 4 Strecken hinzu: AC, AD, BD und CD. Im zweiten Schritt wird E mit A, B, C und D verbunden. Das sind ebenfalls 4 neue Strecken: EA, EB, EC und ED. Damit stimmt: In beiden Schritten werden gleich viele neue Strecken gezeichnet.

Ein Abdruck hat die Form eines Rechtecks. Sein Flächeninhalt ist Länge · Breite: 7 cm · 4 cm = 28 cm². Weil sich die drei Abdrücke nicht überlappen, addieren sich ihre Flächeninhalte: 3 · 28 cm² = 84 cm². Die bedruckte Fläche beträgt insgesamt 84 cm².

Die aktuelle Linie hat 5 Spitzen mit jeweils zwei Teilstrecken. Sie besteht also aus 5 · 2 = 10 Teilstrecken. Beim nächsten Schritt wird jede davon durch vier Teilstrecken ersetzt: 10 · 4 = 40 Teilstrecken. Gefragt ist die Zunahme, nicht die neue Gesamtzahl: 40 − 10 = 30. Das nächste Muster hat 30 Teilstrecken mehr.

Der rechte Stein in der mittleren Reihe muss die Zahl 142 − 59 = 83 enthalten. Links müssen zwei Karten zusammen 59 ergeben: 23 + 36 = 59. Rechts müssen zwei Karten zusammen 83 ergeben: 36 + 47 = 83. Die andere Paarung ergibt 23 + 47 = 70 und passt zu keinem dieser beiden Steine. Die Karte 36 gehört zu beiden passenden Summen. Sie muss deshalb unten in der Mitte liegen. Probe: Unten stehen von links nach rechts 23, 36 und 47. Darüber entstehen 59 und 83. An der Spitze ergibt sich 59 + 83 = 142.

Bei einem Quader sind der obere und der untere rechteckige Rahmen gleich groß. Für beide Rahmen benötigt man: 2 · 34 cm = 68 cm. Dazu kommen die vier senkrechten Kanten: 4 · 9 cm = 36 cm. Insgesamt werden 68 cm + 36 cm = 104 cm Draht benötigt. 104 cm − 100 cm = 4 cm. Der Draht reicht nicht aus. Es fehlen 4 cm.

Die Masse nimmt nach rechts zu. Die beiden schwersten Modelle sind daher F mit 7 kg und E mit 6 kg. Sie scheiden aus. Bei den übrigen Modellen lautet die Reihenfolge vom niedrigsten zum höchsten Preis: D (150 €), B (180 €), A (240 €), C (270 €). Die beiden günstigsten verbliebenen Modelle sind somit B und D. Diese werden ausgewählt.

Der erste Fehler steht in Zeile L. Beim Ausmultiplizieren muss auch die 2 mit 3 multipliziert werden: 3(x + 2) = 3x + 6. Am Schnittpunkt sind die Funktionswerte gleich: 3x + 6 = −2x − 14 Addiere 2x und ziehe 6 ab: 5x = −20 Teile durch 5: x = −4 Einsetzen liefert f(−4) = 3 · (−4 + 2) = 3 · (−2) = −6. Zur Probe: g(−4) = −2 · (−4) − 14 = 8 − 14 = −6. Der richtige Schnittpunkt ist S (−4 | −6).

Um einen Prozentsatz als Dezimalzahl zu schreiben, teilt man die Zahl vor dem Prozentzeichen durch 100. 3,6 % = 3,6 : 100 = 0,036. Das ist kleiner als 0,36 und damit nicht geeignet. 36 % = 36 : 100 = 0,36. Dieser untere Grenzwert ist erlaubt, denn es heißt „mindestens“. 62 % = 62 : 100 = 0,62. Dieser Wert liegt zwischen 0,36 und 0,72 und ist geeignet. 76 % = 76 : 100 = 0,76. Das ist größer als 0,72 und damit nicht geeignet. Akkus mit den Anzeigen 36 % und 62 % dürfen verwendet werden.

Die passenden Zahlenkombinationen sind 1 und 3 sowie 2 und 6: 3 · 1 = 3 und 3 · 2 = 6. Die kleinere Zahl kann nicht 3 oder größer sein, denn ihr Dreifaches wäre mindestens 9. Auf den Würfeln stehen aber nur Zahlen bis 6. Jede Kombination kann in beiden Farbzuordnungen auftreten. Deshalb gehören (1,3) und (3,1) ebenso dazu wie (2,6) und (6,2). Vollständig ist die Liste: (1,3), (2,6), (3,1), (6,2).

4 Wochen sind 4 · 7 = 28 Tage. Der Vorrat enthält also 12 · 28 = 336 Tagesportionen. Eine Tagesportion versorgt ein Kaninchen an einem Tag. Für 21 Tage reicht der Vorrat für höchstens 336 : 21 = 16 Kaninchen. 12 Kaninchen leben bereits dort. Deshalb können höchstens 16 − 12 = 4 weitere Kaninchen aufgenommen werden.

1 kg = 1000 g, also sind 2 kg = 2000 g. 1000 g sind die Hälfte von 2000 g. Deshalb beträgt der richtige Preis: 7,60 € : 2 = 3,80 €. Emma hat 4,30 € bezahlt. Zu viel bezahlt hat sie: 4,30 € − 3,80 € = 0,50 €. Sie bekommt 0,50 € zurück.

Die beiden mittleren Steine erhalten die Werte −5 · z und z · 2. Ihr Produkt steht oben. Deshalb gilt: (−5 · z) · (z · 2) = −10 · z · z = −360. Rückwärts gerechnet ergibt sich: z · z = (−360) : (−10) = 36. Sowohl 6 · 6 als auch (−6) · (−6) ergibt 36. Daher passen 6 und −6. Kontrolle: Bei z = 6 stehen in der Mitte −30 und 12, bei z = −6 stehen dort 30 und −12. Beide Produkte ergeben −360.

Im Raster liest man R(−3,5 | 2) und S(−1,5 | −1) ab. Beim Spiegeln an der y-Achse wechselt nur die x-Koordinate ihr Vorzeichen. Die y-Koordinate bleibt gleich. Für R gilt: x' = −(−3,5) = 3,5 und y' = 2. Der eingezeichnete Punkt R'(3,5 | 2) liegt bereits richtig. Für S gilt: x' = −(−1,5) = 1,5 und y' = −1. Also muss Emma den Punkt S' nach (1,5 | −1) verschieben.