Die senkrechte Mittellinie ist bereits eine Symmetrieachse: Die Feldfarben links und rechts passen spiegelbildlich zusammen. Für eine waagerechte Symmetrieachse müssen die obere und die untere Reihe übereinstimmen. Nur die mittleren Felder unterscheiden sich: oben weiß, unten schwarz. Deshalb muss das mittlere Feld in der oberen Reihe schwarz gefärbt werden. Danach sind sowohl die linke und rechte als auch die obere und untere Hälfte spiegelgleich. Das ergänzte Bild hat genau zwei Symmetrieachsen: eine senkrechte und eine waagerechte. Weitere Achsen sind ausgeschlossen, weil der rechteckige Rand nicht quadratisch ist.

Bei einem fairen Würfel sind die sechs Augenzahlen gleich wahrscheinlich. Für Annas Tipp ist nur die 2 günstig: Das ist 1 günstiges Ergebnis von 6 möglichen. Ihre Trefferwahrscheinlichkeit beträgt 1/6. Für Bens Tipp ist nur die 6 günstig. Auch seine Trefferwahrscheinlichkeit beträgt 1/6. Beide haben also jeweils eine Trefferwahrscheinlichkeit von 1/6. Eine größere Augenzahl ist nicht wahrscheinlicher als eine kleinere.

Eine Symmetrieachse muss bei der Spiegelung das gesamte Muster auf sich selbst abbilden. Die senkrechte Gerade durch die Mittelpunkte beider Rechtecke ist eine Symmetrieachse: Bei der Spiegelung wird jedes Rechteck auf sich selbst abgebildet. Die waagerechte Gerade genau zwischen den Rechtecken ist ebenfalls eine Symmetrieachse: Sie vertauscht die beiden gleich großen Rechtecke. Die waagerechte Gerade durch den Mittelpunkt des oberen Rechtecks ist keine Symmetrieachse des gesamten Musters. Das untere Rechteck würde an eine leere Stelle oberhalb des Musters gespiegelt. Auch die schräge Gerade durch die genannten Ecken ist keine Symmetrieachse. Sie würde die langen waagerechten Seiten auf schräge Strecken abbilden, die nicht zum Muster gehören. Das Muster besitzt genau zwei Symmetrieachsen: die mittlere senkrechte und die mittlere waagerechte Gerade.

Die oberste Zahl soll sich von −1 auf −11 ändern. Die Änderung beträgt −11 − (−1) = −10. Die untere mittlere Zahl wird für beide Steine darüber verwendet. Ihre Änderung wirkt deshalb zweimal auf die oberste Zahl. Unten in der Mitte ist daher die Änderung −10 : 2 = −5 nötig. Die neue Zahl lautet: 2 + (−5) = −3. Probe: −9 + (−3) = −12 und −3 + 4 = 1. Ganz oben ergibt sich −12 + 1 = −11. Die gesuchte Zahl ist −3.

Der Quader hat oben und unten jeweils 4 Ecken: 4 + 4 = 8 Ecken. Er hat 4 obere, 4 untere und 4 verbindende Kanten: 4 + 4 + 4 = 12 Kanten. Der Unterschied beträgt 12 − 8 = 4. Die Pyramide hat 4 Ecken an der Grundfläche und eine Spitze: 4 + 1 = 5 Ecken. Zu den 4 Grundkanten kommen 4 Kanten zur Spitze: 4 + 4 = 8 Kanten. Der Unterschied beträgt 8 − 5 = 3. Die Aussage trifft nur auf den Quader zu.

Aus der 9 im linken mittleren Stein und der 3 unten links erhält man für die untere Mitte: 9 : 3 = 3. Die rechte Seite liefert denselben Wert: 12 : 4 = 3. Mit 3 statt 2 stimmen beide Produkte: 3 · 3 = 9 und 3 · 4 = 12. Auch der oberste Stein passt: 9 · 12 = 108. Also muss im mittleren Stein der unteren Reihe die 2 durch 3 ersetzt werden.

Berechne zuerst ein Drittel der gesamten Länge: 6 m : 3 = 2 m. Nach der Markierung am Eingang bleiben: 6 m − 2 m = 4 m. Für den Bühnenrand werden 4,5 m benötigt. Die fehlende Länge beträgt: 4,5 m − 4 m = 0,5 m. Das Klebeband reicht nicht aus. Es fehlen 0,5 m.

Zwischen 0,2 und 1,2 liegen zehn gleich große Abschnitte. Die Schrittweite beträgt deshalb (1,2 − 0,2) : 10 = 0,1. 9/10 = 0,9. Diese Zahl liegt sieben Schritte rechts von 0,2: 0,2 + 7 · 0,1 = 0,9. Dort liegt Punkt Q. Zum Vergleich: Punkt P steht für 0,6 und Punkt R für 1,1.

Entlang einer Blickrichtung verdecken sich die Stapel teilweise. Für jede hintereinanderliegende Stapelreihe bestimmt deshalb der höchste Stapel die Anzahl der sichtbaren senkrechten Einzelflächen. Von vorne und hinten sind die höchsten Stapel in den drei Spalten 2, 4 und 3 Würfel hoch. Je Ansicht: 2 + 4 + 3 = 9 Einzelflächen. Beide Ansichten zusammen: 2 · 9 = 18 Einzelflächen. Von links und rechts sind die höchsten Stapel in den beiden Reihen 4 und 2 Würfel hoch. Je Ansicht: 4 + 2 = 6 Einzelflächen. Beide Ansichten zusammen: 2 · 6 = 12 Einzelflächen. 18 − 12 = 6. Von links und rechts sieht man zusammen 6 Einzelflächen weniger. Ober- und Unterseiten werden nicht mitgezählt.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnet man mit Strecke : Zeit. 30 Minuten sind eine halbe Stunde, also 0,5 h. Emmas Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 6 km : 0,5 h = 12 km/h. Bens Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 11 km : 1 h = 11 km/h. Der Unterschied beträgt 12 km/h − 11 km/h = 1 km/h. Emma ist im Durchschnitt um 1 km/h schneller als Ben.

Bei einer vierstelligen Palindromzahl legt die erste Ziffer auch die letzte fest. Die zweite Ziffer bestimmt die dritte. Es werden also nur zwei Ziffern frei gewählt. Anfangs gibt es für die erste Ziffer 3 Möglichkeiten: 2, 5 oder 7. Für die zweite sind alle 4 erlaubten Ziffern möglich. Das ergibt 3 · 4 = 12 Palindromzahlen. Mit der zusätzlichen 6 gibt es 4 Möglichkeiten für die erste und 5 für die zweite Ziffer. Das ergibt 4 · 5 = 20 Palindromzahlen. Die bisherigen 12 Zahlen bleiben möglich. Daher kommen 20 − 12 = 8 neue Palindromzahlen hinzu.

Die Messung liefert zunächst die Höhenwerte auf den einzelnen Zetteln. Danach werden diese Messwerte in der Tabelle zusammengefasst. Erst wenn diese Tabelle vorliegt, kann die AG daraus die Anzahl der Sonnenblumen mit mindestens 150 cm Höhe bestimmen. Anschließend kann sie das Ergebnis veröffentlichen. Deshalb müssen „Anzahl bestimmen“ und „Tabelle anlegen“ ihre Plätze tauschen.

In beiden waagerechten Richtungen liegen jeweils 5 kleine Würfel. Jede vollständige Schicht enthält daher 5 · 5 = 25 kleine Würfel. Damit bei unveränderter Grundfläche ein Würfel entsteht, muss der Körper auch 5 kleine Würfel hoch sein. Bisher sind 2 Schichten vorhanden. Es fehlen also 5 − 2 = 3 Schichten. Die zusätzlich benötigten Bausteine haben zusammen ein Volumen von 3 · 25 · 1 cm³ = 75 cm³.

Nach dem Gutscheinabzug bleiben 100 % − 20 % = 80 % des ursprünglichen Bruttopreises zu zahlen. Ursprünglicher Bruttopreis: 285,60 € : 0,80 = 357,00 €. Die Mehrwertsteuer wird auf den Nettopreis berechnet. Der Bruttopreis entspricht daher 100 % + 19 % = 119 % des Nettopreises. Ursprünglicher Nettopreis: 357,00 € : 1,19 = 300,00 €. Der Nettopreis vor dem Gutscheinabzug betrug 300,00 €.

Bei Anna stehen alle Bücher zur Auswahl. Die Kriminalromane bilden ein Viertel der 3/5 Romane. Deshalb werden die beiden Bruchanteile multipliziert: 3/5 · 1/4 = 3/20. 3/20 = 15/100 = 15 %. Bei Ben stehen nur die Romane zur Auswahl. Innerhalb dieser Gruppe beträgt der Anteil der Kriminalromane direkt 1/4: 1/4 = 25/100 = 25 %. Richtig ist daher: Anna hat eine Wahrscheinlichkeit von 15 %, Ben von 25 %.

68 Milliarden sind 68 000 000 000. Fünfundzwanzigtausendvier sind 25 004. Zusammen ergibt das 68 000 025 004. Die Dreiergruppen 68, 000, 025 und 004 enthalten jeweils 0, 3, 1 und 2 Nullen. Insgesamt werden 0 + 3 + 1 + 2 = 6 Nullenkarten benötigt. Vier liegen bereits bereit: 6 − 4 = 2. Es fehlen also 2 Karten mit der Ziffer 0.

Die 18 Jugendlichen beim Basketball gehören bereits zu den 64 Jugendlichen im Ballsport. Ben zieht sie deshalb doppelt ab. Zuerst werden die Anmeldungen für Ballsport und Leichtathletik addiert: 64 + 57 = 121 Jugendliche. Alle anderen wählen Turnen. Deshalb wird diese Summe von der Gesamtzahl abgezogen: 186 − 121 = 65 Jugendliche. Richtig ist: Die 18 sind bereits in den 64 enthalten. Es wählen 65 Jugendliche Turnen.

Zuerst berechnen wir die gesamte Masse: 160 g + 240 g = 400 g. Der Anteil der Nüsse beträgt: 160 : 400 = 2/5 = 0,4 = 40 %. Die Aussage mit 2/5 ist deshalb richtig. Die Angabe 60 % ist falsch. Nun vergleichen wir die Rosinenmasse mit der Nussmasse: 240 : 160 = 1,5 = 150 %. Die Masse der Rosinen entspricht also tatsächlich 150 % der Masse der Nüsse. Für die gesamte Mischung gilt: 400 : 160 = 2,5. Die Mischung wiegt das 2,5-Fache der Nüsse, nicht das Dreifache.

Am ersten Tag beträgt der Zuwachs 204 MB − 120 MB = 84 MB. Sein Anteil am vorherigen Wert ist 84 : 120 = 0,7 = 70 %. Auch am zweiten Tag gilt: (346,8 − 204) : 204 = 0,7. Die Datenmenge wächst also täglich um 70 %. Der neue Wert beträgt jeweils 100 % + 70 % = 170 % des vorherigen Werts. Der Multiplikationsfaktor ist deshalb 1,7. Für Zelle B5 passt somit die Formel =B4*1,7. Sie berechnet für Tag 3: 346,8 MB · 1,7 = 589,56 MB. Die Formel =B4+84 würde nur 430,8 MB ergeben. Sie übernimmt den festen Zuwachs des ersten Tages statt 70 % des aktuellen Werts. Ein Zuwachs um 170 % würde dagegen den Faktor 2,7 bedeuten.

Pauls Fehler liegt beim ersten Umformen. Um −12 auf der linken Seite aufzuheben, muss man auf beiden Seiten 12 addieren: 4x − 12 + 12 = 20 + 12 4x = 32 Nun werden beide Seiten durch 4 geteilt: x = 32 : 4 = 8 Probe: 4 · 8 − 12 = 32 − 12 = 20. Richtig ist die Rückmeldung: zuerst 12 addieren und danach durch 4 teilen. Die Lösung ist x = 8.