Am Punkt P liest man eine Breite von 4 cm ab, am Punkt Q eine Breite von 12 cm. Die Rechtecke sind deckungsgleich. Weil ihre Breiten verschieden sind, müssen Breite und Länge vertauscht sein. Deshalb ist das Rechteck zu P 12 cm lang und das Rechteck zu Q 4 cm lang. Q liegt am ersten Teilstrich über 0. Ein Schritt auf der Längenachse entspricht also 4 cm. Zur Kontrolle: P liegt am dritten Teilstrich. Es gilt 3 · 4 cm = 12 cm. Die Markierung a liegt am zweiten Teilstrich: 2 · 4 cm = 8 cm. An der Markierung a muss die Zahl 8 stehen.

Zuerst umrechnen: 0,42 m = 42 cm. Messrad B macht 35 : 25 = 1,4-mal so viele Umdrehungen wie Messrad A. Da beide dieselbe Strecke zurücklegen, beträgt der Umfang von B nur das 1/1,4-Fache des Umfangs von A. Wegen U = π · d gilt dieses Verhältnis auch für die Durchmesser. Durchmesser von B: 42 cm : 1,4 = 30 cm. Messrad B hat einen Durchmesser von 30 cm.

Das Verhältnis von Zahlenrätselkarten zu Bilderrätselkarten beträgt 3 : 1. Insgesamt sind das 3 + 1 = 4 gleich große Anteile. Davon entfallen 3 auf Zahlenrätsel. Weil jede Karte gleich wahrscheinlich gezogen wird, gilt: Wahrscheinlichkeit für ein Zahlenrätsel = 3/4 = 75 %. Die genaue Gesamtzahl der Karten wird nicht benötigt, da das Verhältnis feststeht.

Wir bezeichnen den kleinsten Innenwinkel mit x. Die anderen Winkel sind dann 3 · x und x + 20° groß. Die Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen 180°: x + 3 · x + (x + 20°) = 180°. Zusammenfassen ergibt 5 · x + 20° = 180°. Nach Abziehen von 20° gilt 5 · x = 160°, also x = 32°. Die anderen Winkel betragen 3 · 32° = 96° und 32° + 20° = 52°. Da 96° größer als 90° ist, ist das Dreieck stumpfwinklig.

Die Umkehroperation zum Teilen durch 8 ist das Multiplizieren mit 8. Ben muss deshalb beide Seiten mit 8 multiplizieren: (x : 8) · 8 = 7 · 8 x = 56 Probe: 56 : 8 = 7. Richtig ist also die Aussage, dass Ben beide Seiten mit 8 multiplizieren muss und x = 56 erhält. Durch erneutes Teilen durch 8 würde links x : 64 stehen, nicht x. Auch das Addieren von 8 hebt die Division nicht auf.

Zuerst vergleichen wir die Preise: 7,40 € : 2 = 3,70 €. Emma bezahlt also den halben Kilogrammpreis. Weil der Preis proportional zur Masse ist, erhält sie die halbe Masse: 1 kg : 2 = 0,5 kg. Mit 1 kg = 1000 g folgt: 1000 g : 2 = 500 g. Emma erhält 500 g Modelliermasse.

Von 0 bis 0,5 gibt es fünf gleich große Abschnitte. Jeder entspricht 0,5 : 5 = 0,1. Der graue Abschnitt beginnt drei Schritte links von 0 bei −0,3 und endet zwei Schritte rechts von 0 bei 0,2. −0,3 ist ein eingeschlossener Randwert. 0,1 liegt zwischen den Rändern. −0,4 liegt links und 0,3 rechts außerhalb. Richtig sind −0,3 und 0,1.

Bei der ersten Ziehung liegen 16 Kärtchen im Beutel. Die Wahrscheinlichkeit für Emmas Kärtchen beträgt daher 1/16. Doppelt so groß ist 2 · 1/16 = 1/8. Dafür müssen unmittelbar vor der Ziehung noch 8 Kärtchen im Beutel liegen. Es müssen also zuvor 16 − 8 = 8 Kärtchen gezogen worden sein. Die ersten acht Öffnungstage sind der 1., 3., 4., 7., 8., 10., 11. und 14. September. Nach der Ziehung am 14. September bleiben 8 Kärtchen übrig. Die nächste Ziehung findet am 15. September 2026 statt. Für Emmas noch enthaltenes Kärtchen beträgt die Wahrscheinlichkeit dann erstmals 1/8.

Die drei Stationen erhalten zusammen 36 + 48 + 39 = 123 Becher. Übrig bleiben 160 − 123 = 37 Becher. Die Saftbar braucht 40 Becher. Es fehlen 40 − 37 = 3 Becher. Der Vorrat reicht also nicht.

Jeder der 154 Starts liefert genau ein Ergebnis. Auf die Zahlen 1 und 2 entfallen zusammen 64 + 45 = 109 Anzeigen. Für die Zahl 3 bleiben deshalb 154 − 109 = 45 Anzeigen. Die Zahlen 2 und 3 wurden also jeweils 45-mal angezeigt und damit gleich häufig.

Ein Quader hat drei Paare gegenüberliegender Außenflächen: oben und unten, vorne und hinten sowie links und rechts. Das sind insgesamt 3 · 2 = 6 Flächen. Auf der Vorderseite und der Oberseite klebt bereits je ein Aufkleber, also insgesamt 2. Anna braucht noch 6 − 2 = 4 Aufkleber.

PM und PN sind Radien gleich großer Kreise. Das Dreieck MPN ist deshalb gleichschenklig. Seine Winkel bei M und N betragen jeweils (180° − 82°) : 2 = 49°. Die Spiegelung an MN vertauscht die Schnittpunkte P und Q. Daher sind die Winkel PMN und QMN gleich groß. Es folgt: α = 49° + 49° = 98°. Im Dreieck PMQ gilt PM = QM, denn beide Strecken sind Radien desselben Kreises. Seine Basiswinkel bei P und Q sind gleich groß: β = (180° − 98°) : 2 = 41°. Ergebnis: α = 98° und β = 41°.

Lies für jede Buchart beide Säulen ab. Ziehe jeweils die kleinere Anzahl von der größeren ab. Krimis: 18 − 12 = 6 Bücher. Comics: 18 − 10 = 8 Bücher. Sachbücher: 16 − 14 = 2 Bücher. Fantasybücher: 12 − 8 = 4 Bücher. Der kleinste Unterschied beträgt 2 Bücher. Er tritt bei den Sachbüchern auf.

Koordinaten werden in der Reihenfolge (x | y) angegeben. Links vom Ursprung ist x negativ, unterhalb des Ursprungs ist y negativ. K liegt 3 Einheiten links und 2 Einheiten oberhalb des Ursprungs: K (−3 | 2). Emmas Eintrag (2 | −3) enthält dieselben Zahlen in vertauschter Reihenfolge. L liegt bei (2 | 3). Dieser Eintrag ist richtig. M liegt 1 Einheit rechts und 3 Einheiten unterhalb des Ursprungs: M (1 | −3). Auch im Eintrag (−3 | 1) sind die Koordinaten vertauscht. N liegt bei (−2 | −1). In Emmas Eintrag (2 | −1) fehlt das Minuszeichen der x-Koordinate. Die Reihenfolge ist nicht vertauscht. Richtig sind Punkt K und Punkt M.

Die beiden mittleren Steine enthalten jeweils x · x = x². Damit steht oben z = x² · x² = x⁴. Für x ≠ 0 ist x² positiv. Deshalb ist auch z positiv. Beim Vorzeichenwechsel gilt (−x) · (−x) = x². Die mittleren Zahlen und damit auch z bleiben gleich. Also liefern x und −x denselben Wert. Beim Verdoppeln gilt (2x)⁴ = 16x⁴. z wird also 16-mal so groß, nicht viermal. z = x³ gilt nicht allgemein: Bei x = −2 steht mittig jeweils 4 und oben 4 · 4 = 16. Dagegen ist x³ = −8. Richtig sind die Aussagen zum gleichen Wert bei x und −x und zum stets positiven z.

x bezeichnet die Kartenzahl einer Person zu Beginn. Nach dem Ablegen hat jede Person x − 3 Karten. Deshalb gilt: 4 · (x − 3) = 52. Teile beide Seiten durch 4: x − 3 = 52 : 4 = 13. Addiere auf beiden Seiten 3: x = 13 + 3 = 16. Jede Person hatte zu Beginn 16 Karten. Probe: 4 · (16 − 3) = 4 · 13 = 52.

Die vorhandene Frage ermöglicht es, die Befragten in die Gruppen Bus und Fahrrad einzuteilen. Für den Vergleich fehlt noch die Dauer des Schulwegs jeder Person in Minuten. Für jede Gruppe lässt sich dann berechnen: Durchschnittszeit = Summe der Zeiten : Anzahl der Personen. Richtig ist deshalb die Frage nach den benötigten Minuten. Entfernung, Wunschverkehrsmittel und Anzahl der Fahrtage geben keine Auskunft über die Dauer.

Der Weg über die Mühle ist auf der Karte insgesamt 3 cm + 3,5 cm = 6,5 cm lang. Der direkte Weg misst dort 4,5 cm. Der Unterschied beträgt 6,5 cm − 4,5 cm = 2 cm. Beim Maßstab 1 : 60 000 entspricht 1 cm auf der Karte einer wirklichen Strecke von 60 000 cm = 600 m = 0,6 km. Der Weg über die Mühle ist deshalb 2 · 0,6 km = 1,2 km länger.

Gegenüberliegende Flächen eines Quaders sind gleich groß. 9 cm · 4 cm = 36 cm². Dieser Flächeninhalt steht schon zweimal in der Rechnung. 9 cm · 3 cm = 27 cm². Dieser Flächeninhalt steht erst einmal darin; es fehlen weitere 27 cm². 4 cm · 3 cm = 12 cm². Auch dieser Flächeninhalt steht erst einmal darin; es fehlen weitere 12 cm². Ergänzt werden müssen also 27 cm² und 12 cm². Zur Kontrolle: 111 cm² + 27 cm² + 12 cm² = 150 cm². Das ist die gesamte Oberfläche und zugleich der Mindestpapierbedarf für eine vollständige Beklebung ohne Überlappungen oder Verschnitt.

Zuerst berechnest du die Leistung des Scanners: 405 Seiten : 9 Minuten = 45 Seiten pro Minute. Noch zu scannen sind: 990 − 405 = 585 Seiten. Die verbleibende Zeit beträgt: 585 : 45 = 13 Minuten. Der Scanner muss also noch 13 Minuten arbeiten.